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現代的な無限大のお話


うおっと、その前にコンパクト定理をやんなきゃだめか。
[コンパクト定理]
論理式の集合Tが無矛盾であることと
そのTの任意の有限部分集合が無矛盾であることは同値。
[証明]
→は明らか。←を示す。
Tが矛盾するなら矛盾にいたる証明(有限回の式変換)があって
その証明に使われているTの論理式は有限個なので
その論理式を集めたSはTの有限個部分集合であり、
Sは矛盾する。[おしまい]

まぁそんなことはどうでもよくて
普通の数学では無限大は一つの記号であって
計算の対象たる数字ではないわけ。
x→∞なんてのはlimやΣの下で役割があって、
∞+3とかってのはできない。

説明としては「どんな数より大きい数」って
いうこともあるけど、∞が数なら
「どんな数」のなかに∞も入って、
∞より大きい数が∞でないといけなくて矛盾する。

そこでこのコンパクト定理。
これで見事、∞って数を導入するわけ。
やりかたは簡単。
「ある数CがあってC>1」
これはあたりまえ、C=2とすればC>1だから。
同じように
「ある数CがあってC>2」「ある数CがあってC>3」
というようにして無限個作ってTに入れる。
そしたらそのTの有限部分集合に対しては
そのなかで一番大きい数+1をCとすれば満たすね。
(一つのCがTの有限部分集合の論理式を全部満たすように
 作れることに注意)
だからコンパクト定理によって、Tは無矛盾。

よーくTを見てみると
「ある数CがあってC>ほにゃらら」が無限個あって
それを全部一気に成り立たせるCがあるわけ。
それを∞と呼びましょう。

なんかだまされてると思うでしょ。
っていうか何やってるかわからないし、
∞が数でないからってなに?って感じかな。
これで無事矛盾せずに数を追加できたわけだ。わーい。
まぁお遊びということで。
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