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モデル論


けっこう当たり前に考えてることが
実は人に説明するのにまごついたり。

「可算な言語において、
 任意の無矛盾な理論Tのモデルは非可算無限個存在する。」
をね、ちゃちゃっと証明しようと思ったんだけど
なんか穴があるっぽい。
きっともっと簡単な証明があるんだろうなぁ。

まずはTからは証明も否定もできない命題をφとかして
(その存在性はゲーデルの第1不完全性定理より)
Tにφを加えたものをT1
Tにφの否定を加えたものをT0とかする。

T1からは証明も否定もできない命題をφ1とかして
T1にφ1を加えたものをT11
T1にφ1の否定を加えたものをT10とかする。

みたいな作り方を無限回すれば
Tを含む理論が非可算無限個できる。
それらは無矛盾だからモデルをもち、Tのモデルとなる。
それぞれ別のモデルだから
理論Tのモデルは非可算個ある。

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