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数学をしようと思う


電車の中で勉強してる学生さんを見てて
やっぱいいなぁ、勉強したいなと思い。
するならやっぱ数学でしょ。

基礎論の教科書をなぞっていくのもいいんだけど
まずは微積が現代数学入門としては
最適だと思うので、微積からやりましょう。

書くことがない日はこれでいいかな。
まぁどうせ途中でかったるくなるか、忘れるか。

あんまり丁寧には書かないのでよろしく。
順番もむちゃくちゃだ。

「実数全体の集合は自然数全体の集合より濃度が大きい」
実数は無限小数表現とする。
自然数から実数への全射fがあったとする。
aの小数点第n位はf(n)の小数点第n位に1を足したもの
(第n位が9のときは0)となるように新しい実数aを作る。
この実数aは任意のnに対してa!=f(n)だから
fが自然数から実数への全射であることに反する。
よって自然数から実数への全射は存在しない。

「距離」
d(x,x)=0
d(x,y)=d(y,x)
d(x,y)+d(y,z)>=d(x,z)
の3つを満たす実数への関数を距離関数という。
x,y,zは簡単のため実数のタプルとしておこう。
この場合、通常の2点間の距離は距離関数。
i.e. d((1,2),(4,6))=|(1,2)-(4,6)|=|(3,4)|=sqrt(3*3+4*4)=5

「開基底」
ある点aを中心にして半径rの円で、
円の円周上を含まず、円の内部を含むものを
開基底という。先程の距離関数を使うと
[x| d(x,a)
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